En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d' intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont la transformée de Fourier. Définition formelle [ modifier | modifier le code] Soient T un ensemble, un espace mesuré et une application telle que pour tout élément t de T, l'application soit intégrable. Alors l'application F définie par: est appelée une intégrale paramétrique. Le plus souvent, dans les applications: l' entier naturel n est égal à 1; T est un ouvert de ℝ; est une partie d'un espace euclidien, implicitement munie des tribu et mesure de Lebesgue ou de Borel. les fonctions sont continues et les intégrales sont considérées au sens de Riemann, mais la théorie générale de Lebesgue s'applique à ce cas particulier: sur un segment, une fonction bornée est Riemann-intégrable si et seulement si elle est continue presque partout, et toute fonction Riemann-intégrable est Lebesgue-intégrable.
La fonction g que tu as trouvée n'est pas intégrable sur]0, 1[ puisque, sur cet intervalle, g(t) est égal à 1/t... Pour montrer que f est continue sur]0, + [, l'idée est de montrer qu'elle est continue sur tout intervalle [a, + [ et il suffira de remarquer que, pour tout x a h(x, t) h(a, t). Et l'intégrabilité de t -> h(a, t) provient de la première question. Posté par Leitoo re: Intégrale à paramètre, partie entière. 24-05-10 à 18:50 d'accord très bien, merci. En utilisant h(x, t) ≤ h(0, t) je voulais tout faire en une seule fois, mais ce n'est donc pas possible. Toutefois pour montrer l'intégrabilité de h(x, t), je ne vois pas du tout comment procéder à cause de cette partie entière. Posté par perroquet re: Intégrale à paramètre, partie entière. 24-05-10 à 19:05 t->h(x, t) se prolonge par continuité en 0 puisque, pour t dans]0, 1[. Donc t -> h(x, t) est intégrable sur]0, 1]. Et puisque, t -> h(x, t) est intégrable sur [1, + [ Posté par Leitoo re: Intégrale à paramètre, partie entière.
4. Étude d'une intégrale à paramètre On se place dans le cas où. M1. Comment donner le domaine de définition de? Il s'agit de déterminer l'ensemble des tels que la fonction soit intégrable sur. Attention est la variable d'intégration et est un paramètre. M2. On étudie la continuité de sur, en utilisant le paragraphe I. M3. Si l'on demande d'étudier la monotonie de en demandant seulement dans une question située plus loin de prouver que est dérivable: on prend dans et on étudie le signe de en étudiant le signe sur de la fonction. Exercice Domaine de définition et sens de variation de. M4. On démontre que la fonction est de classe en utilisant le § 2, de classe en utilisant le § 3. Dans certains cas, il est possible de calculer l' intégrale définissant et d'en déduire par intégration la fonction, en déterminant la constante d'intégration. M5. Pour déterminer la limite de la fonction en une des bornes de: M5. Il est parfois possible d'encadrer par deux fonctions admettant même limite en, ou de minorer par une fonction qui tend vers en, ou de la majorer par une fonction qui tend vers en.
👍 Lorsque l'intervalle est ouvert ou non borné, il est courant de raisonner par domination locale. 👍 important: si est continue sur, les hypothèses de continuité contenues dans (a) et (b) sont vérifiées. 1. 3. Cas particulier Soit un segment de et soit un intervalle de. Soit continue. La fonction est continue sur. 1. 4. Exemple: la fonction. Retrouver le domaine de définition de la fonction. Démontrer qu'elle est continue. 2. Dérivabilité 2. Cas général Soient et deux intervalles de. Hypothèses: (a) si pour tout, est continue par morceaux et intégrable sur, (b) si pour tout, est de classe sur, (c) si pour tout, est continue par morceaux sur, (d) hypothèse de domination globale s'il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur, telle que (d') hypothèse de domination locale si pour tout segment inclus dans, il existe une fonction, continue par morceaux sur et intégrable sur telle que pour tout, la fonction est intégrable sur la fonction, définie sur par, est de classe sur, et.
En déduire la valeur de $C$. Enoncé Pour $x\in\mathbb R$, on pose $$\gamma(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\cos(2tx)}{\cosh^2(t)}dt. $$ Justifier que $\gamma$ est définie sur $\mathbb R$. Démontrer que $\gamma$ est continue sur $\mathbb R$. Etablir la relation suivante: pour tout $x\in\mathbb R$, \[ \gamma(x)=1-4x\int_0^{+\infty}\frac{\sin(2xt)}{1+e^{2t}}dt. \] En déduire que, pour tout $x\in\mathbb R$, \[ \gamma(x)=1+2x^2\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k^2+x^2}. \] Enoncé On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}. $$ Déterminer le domaine de définition de $F$ et démontrer que $F$ est continue sur ce domaine de définition. Démontrer que $F$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]1, +\infty[$ et démontrer que, pour tout $x>1$, $$F'(x)=\int_1^{+\infty}\frac{t^x\ln (t)}{(1+t^x)^2}\left(\frac 1{t^2}-1\right)dt. $$ En déduire le sens de variation de $F$. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$. On suppose que $F$ admet une limite $\ell$ en $1^+$. Démontrer que pour tout $A>0$ et tout $x>1$, on a $$\ell\geq \int_1^A \frac{dt}{1+t^x}.
Justifier que, pour tout $u<-1$, $\ln(1-u)\leq -u$. Pour $x>0$, on pose $$f_n(t):=\left\{ \begin{array}{ll} t^{x-1}(1-t/n)^n&\textrm{ si}t\in]0, n[\\ 0&\textrm{ si}t\geq n. \end{array}\right. $$ Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt=\Gamma(x). $ En déduire que pour $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}n^x\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du. $$ En utilisant des intégrations par parties successives, conclure que, pour tout $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n! n^x}{x(x+1)\dots(x+n)}. $$ Enoncé En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt. $$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$. Enoncé Soit $f:\mathbb R_ +\to\mathbb C$ une fonction continue. Pour $x\in\mathbb R$, on pose $Lf(x)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt. $ Montrer que si $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt$ converge, alors $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-yt}dt$ converge pour $y>x$. Quelle est la nature de l'ensemble de définition de $Lf$?