Soit (a) l'inéquation $\cos x≤-{√{3}}/{2}$ et (b) l'inéquation $\cos x≥{1}/{2}$. On résout l'équation trigonométrique associée à (a). Exercice cosinus avec corrigé la. $\cos x=-{√{3}}/{2}$ $⇔$ $\cos x=\cos (π-{π}/{6})$ $⇔$ $\cos x=\cos ({5π}/{6})$ Soit: $\cos x=-{√{3}}/{2}$ $⇔$ $x={5π}/{6}$ $[2π]$ ou $x=-{5π}/{6}$ $[2π]$ Et comme on raisonne sur $]-π;π]$, on obtient: $x={5π}/{6}$ ou $x=-{5π}/{6}$ On revient alors à l'inéquation (a): $\cos x≤-{√{3}}/{2}$. (a) $⇔$ $-π$<$x≤-{5π}/{6}$ ou ${5π}/{6}≤x≤π$. On résout l'équation trigonométrique associée à (b). $\cos x={1}/{2}$ $⇔$ $\cos x=\cos ({π}/{3})$ Soit: $\cos x={1}/{2}$ $⇔$ $x={π}/{3}$ $[2π]$ ou $x=-{π}/{3}$ $[2π]$ Et comme on raisonne sur $]-π;π]$, on obtient: $x={π}/{3}$ ou $x=-{π}/{3}$ On revient alors à l'inéquation (b): $\cos x≥{1}/{2}$. (b) $⇔$ $-{π}/{3}≤x≤{π}/{3}$ Finalement: $\S_4=]-π;-{5π}/{6}]∪[-{π}/{3};{π}/{3}]∪[{5π}/{6};π]$.
Par ailleurs, comme $−{π}/{2}$<$0$, on a:: $e^{−{π}/{2}}$<$e^0$ (par stricte croissance de l'exponentielle). Et donc: $e^{−{π}/{2}}$<$1$. Finalement, la raison de la suite géométrique $(e^{−{π}/{2}})^n$ est strictement entre 0 et 1, et par là, cette suite est strictement décroissante et admet pour limite 0. 4. Soit $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+∞[$. On pose $u=e^{-x}$ et $v=\cos(4x)$. On obtient alors $u\, '=-e^{-x}$ (la dérivée de $e^u$ est $u\, 'e^u$). On obtient également $v\, '=4×(-\sin(4x)=-4\sin(4x)$ (la dérivée de $g(ax+b)$ est $ag\, '(ax+b)$). Ici, $f=uv$, et donc $f\, '=u\, 'v+uv\, '$. Soit: $f\, '(x)=-e^{-x}×\cos(4x)+e^{-x}×(-4\sin(4x))=-e^{-x}[\cos(4x)+4\sin(4x)]$. 4. Pour montrer que les deux courbes ont même tangente en chacun de leurs points communs, il suffit de montrer qu'elles y ont le même nombre dérivé. Il est inutile de déterminer les équations des tangentes car ces tangentes passent nécessairement par les points communs. Contrôles CORRIGES - Site Jimdo de laprovidence-maths-4eme!. Or, un point commun à $Γ$ et $C$ admet une abscisse du type $k{π}/{2}$, avec $k$ entier naturel.
Cosinus d'un angle – Exercices corrigés – 3ème – Trigonométrie – Brevet des collèges Exercice 1 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 6 cm etABC = 35°. Calculer une valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [AB] Exercice 2 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BA=4 cm etABC = 54°. Calculer une valeur arrondie au millimètre de la longueur du côté [BC] Exercice 3 Sofiane joue avec son cerf-volant sur le bord de la plage. La longe est déroulée au maximum et elle est tendue. Sa longueur est de 50 m. S: position de Sofiane C: position du cerf-volant SC = 50 m 1) La ficelle fait avec l'horizontale un angle CSH qui mesure 80°. Calculer SH. (On donnera la réponse arrondie au mètre près). Exercice cosinus avec corrigé. 2) Lorsque la ficelle fait un angle de 40° avec l'horizontale, la distance SH est-elle la moitié de celle trouvée à la question 1? Exercice 4 Pour un maximum de stabilité, une échelle doit former avec son appui vertical un angle BAC = 20°. De plus, pour des raisons de sécurité, il faut déployer un mètre d'échelle au-delà du point d'appui, c'est à dire tel que AD = 1 m.
On obtient alors l'égalité, vérifiée pour tout $X$ réel: $X^2+({√{3}-1}/{2})X-{√{3}}/{4}=X^2+(-x_1-{1}/{2})X+{x_1}/{2}$. Par identification, on obtient alors: $1=1$ et ${√{3}-1}/{2}=-x_1-{1}/{2}$ et $-{√{3}}/{4}={x_1}/{2}$. D'où: $-{√{3}}/{2}=x_1$ dans les deux dernières équations (ce qui est rassurant). La seconde racine du trinôme est donc $-{√{3}}/{2}$. 4. c. (4) $⇔$ $\cos^2x+({√{3}-1}/{2})\cos x-{√{3}}/{4}≥0$ On pose alors: $X=\cos x$, et on résout: $X^2+({√{3}-1}/{2})X-{√{3}}/{4}≥0$. Exercice cosinus avec corrigé avec. Le membre de gauche est le trinôme précédent, qui a 2 racines: $-{√{3}}/{2}$ et ${1}/{2}$, et dont le coefficient dominant vaut 1. Comme le coefficient dominant du trinôme est positif, ce trinôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines, et par là, sur $]-\∞;-{√{3}}/{2}]∪[{1}/{2};+\∞[$. On a donc: $X^2+({√{3}-1}/{2})X-{√{3}}/{4}≥0$ $⇔$ $\X≤-{√{3}}/{2}$ ou $X≥{1}/{2}$. Or, comme on avait posé $X=\cos x$, on revient alors à l'inéquation d'origine, et on obtient: (4) $⇔$ $\cos x≤-{√{3}}/{2}$ ou $\cos x≥{1}/{2}$.
I étant situé entre H et B, nous avons HI + IB = HB ou HI = HB - IB = 5 - 2 = 3. 2) BAEI étant un rectangle, IE = AB = 2, 25. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle HIE pour déterminer la longueur HE. HE2 = HI2 + IE2 = 32 + 2, 252 = 9 + 5, 0625 = 14, 0625 = 3, 752. donc HE = 3, 75. 3); Cette valeur correspond à un angle de 37° à un degré près. Si l'angle mesure 45°, le triangle HIE est isocèle rectangle en I et HI = IE = 2, 25. Nous pouvons en déduire que IB = HB - HI = 5 - 2, 25 = 2, 75. Le cosinus d'un angle aigü : exercices de maths en 4ème. AE qui est le côté opposé à BI dans le rectangle AEIB a la même mesure que IB. Donc AE = 2, 75. mesure 60°, à 1 cm près, HI = 1, 3 m. AE = BI = HB - HI = 5 - 1, 3 = 3, 7. à 1 cm près, AE = 3, 7 m.
Fonctions sinus et cosinus A SAVOIR: le cours sur sinus et cosinus Exercice 3 Cet exercice utilise les cours sur les suites, la fonction exponentielle, les limites et la dérivation. Soit la fonction $f$ définie sur $[0;+∞[$ par: $f(x)=e^{−x}\cos(4x)$ et $Γ$ sa courbe représentative tracée un repère orthonormé ci-dessous. On considère également la fonction $g$ définie sur $[0;+∞[$ par $g(x)=e^{-x}$ et on nomme $C$ sa courbe représentative dans le même repère orthonormé. 1. a. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+∞[$, $-e^{-x} ≤f(x)≤ e^{-x}$. 1. b. MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Trigonométrie. En déduire la limite de $f$ en $+∞$. 2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes $Γ$ et $C$. 3. On définit la suite $(u_n)$ sur $\ℕ$ par $u_n=f(n{π}/{2})$. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique. En préciser la raison. 3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$ et étudier sa convergence. 4. Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;+∞[$, $f\, '(x)=-e^{-x}[\cos(4x)+4\sin(4x)]$.