Alors z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right). |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z. Réciproquement, si z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right), avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors: |z| = r \arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right] Soit z un nombre complexe non nul d'argument \theta et de forme algébrique x+iy, avec x et y réels. Alors: x=|z|\cos\left(\theta\right) et y=|z|\sin\left(\theta\right) Autrement dit: \cos\left(\theta\right)=\dfrac{x}{|z|} et \sin\left(\theta\right)=\dfrac{y}{|z|} Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
EXERCICE 10 1. Résoudre dans ℂ l'équation z2 = 5 + 12 i. 2. Résoudre dans ℂ l'équation z2 - (1 + i 3)z - 1 + i 3 = 0. EXERCICE 11 On considère la transformation définie par z' = 2 iz + 2 + i. Montrer que la transformation géométrique T associée admet un point invariant A d'affixe a. Exprimer z' - a et en déduire la nature de T. EXERCICE 12 Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O; Å u, Å v). On désigne par A et B les points d'affixes respectives i et -2. A tout point M de P, distinct de A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' défini par: z' = z+2. z-i 1. On note I le milieu du segment [AB]. Déterminer l'affixe du point I' associé à I. Fiche de révision nombre complexe de la. 2. On pose z = x + iy et z' = x' + iy' avec x, y, x', y' réels. a) Déterminer x' et y' en fonction de x et y. b) Déterminer et tracer l'ensemble E des points M d'affixes z tels que z' soit réel. c) En interprétant géométriquement l'argument de z', montrer que si z' est réel alors M, A, B sont alignés. EXERCICE 13 q est un nombre réel donné.
La forme exponentielle est: z = r e i θ z=r\text{e}^{i\theta} Si A A et B B ont pour affixes respectives z A z_A et z B z_B: A B = ∣ z B − z A ∣ AB=\left|z_B - z_A\right| Un nombre réel non nul a pour argument 0 ( m o d. 2 π) 0~(\text{mod. }~2\pi) (s'il est positif) ou π ( m o d. 2 π) \pi~(\text{mod. }~2\pi) (s'il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument π 2 ( m o d. 2 π) \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod. }~2\pi) (si sa partie imaginaire est positive) ou − π 2 ( m o d. 2 π) - \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod. }~2\pi) (si sa partie imaginaire est négative) Si Δ \Delta est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles. Si Δ \Delta est strictement négatif, l'équation possède deux solutions conjuguées: z 1 = − b − i − Δ 2 a z_{1}=\frac{ - b - i\sqrt{ - \Delta}}{2a} z 2 = − b + i − Δ 2 a z_{2}=\frac{ - b+i\sqrt{ - \Delta}}{2a}. Fiche de révision nombre complexe a la. L'ensemble des points M M tels que A M = B M AM=BM est la médiatrice du segment [ A B] [AB]. L'ensemble des points M M tels que A M = k AM=k est: le cercle de centre A A et de rayon k k si k > 0 k > 0 le point A A si k = 0 k = 0 l'ensemble vide si k < 0 k < 0 l'ensemble des points M M tels que ( M A →; M B →) = ± π 2 ( m o d.