Comment calculer le déterminant de deux vecteurs? - YouTube
Déterminant 2×2 O n considère un plan muni d'un repère orthonormé d'origine O, et deux point A et B de coordonnées (x 1, y 1) et (x 2, y 2). Que vaut l'aire du parallélogramme construit sur OAB? Le petit découpage prouve qu'elle vaut x 1 y 2 -x 2 y 1. On appelle ce nombre déterminant des vecteurs et, et on le note: Le déterminant peut donc s'interpréter comme une aire signée. Il permet aussi de déterminer quand deux vecteurs et sont colinéaires; cela arrive si, et seulement si, leur déterminant est nul. Déterminant 3×3 D ans l'espace à 3 dimensions, quel est le volume du parallélépipède construit sur les points O, A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) et C(x 3, y 3, z 3)? Lagrange a calculé ce volume et a trouvé, au signe près: Ce nombre est un déterminant d'ordre 3, et se note: Le déterminant d'ordre 3 peut s'interpréter comme un volume signé; il permet aussi de déterminer quand 3 vecteurs de l'espace sont coplanaires: cela arrive si, et seulement si, leur déterminant est nul. On peut calculer un déterminant d'ordre 3 par la formule précédente, mais le plus souvent on utilise un développement suivant une ligne ou une colonne: pour cela, on attribue à chaque coefficient un signe + ou - suivant le tableau suivant: c'est-à-dire que l'on met un + en haut à gauche, et que l'on alterne les + et les - sur chaque ligne et chaque colonne.
En fait cette propriété n'est pas uniquement vraie pour le cube unité jaune. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou... ) volume transformé par une application linéaire est multiplié par la valeur absolue du déterminant. Le déterminant existe pour les applications linéaires d'un espace dans lui même dans le cas de toutes les dimensions finies. En effet, la notion de volume peut être généralisée: ainsi un « hypercube » ayant ses arêtes de longueur (La longueur d'un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus... ) 2 dans un espace euclidien de dimension n aurait un déterminant (sorte d'« hypervolume ») de 2 n. En revanche si l'espace contient une infinité de dimensions, alors le déterminant n'a plus de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but... ).
Puis on choisit une ligne ou une colonne que l'on parcourt selon le schéma suivant (ici pour la deuxième ligne): Déterminant n×n I l y a de nombreuses façons de définir un déterminant d'une matrice carrée $A=(a_{i, j})$ d'ordre $n$. On peut la définir à partir des formes $n$-linéaires alternées (on renvoie à l'article correspondant). On peut aussi utiliser la formule suivante: où $S_n$ désigne l'ensemble des permutations de $\{1, \dots, n\}$. Mais le plus simple est peut-être encore de le définir par récurrence sur $n$, en utilisant le développement par rapport à une ligne ou une colonne (comme pour l'ordre 3). Les principales propriétés vérifiées par le déterminant sont: une matrice est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul. C'est une propriété importante car elle permet de savoir à l'avance si un système linéaire d'équations admet une, et une seule, solution. Le déterminant d'un produit de deux matrices est égal au produit des déterminants. un déterminant est invariant en échangeant le rôle des lignes et des colonnes, il change de signe si on permute 2 colonnes, il est nul si une colonne est combinaison linéaire des autres.